3/3. Todo lo que siempre quisiste saber sobre el Infinito

III. ¿Hay un infinito más grande que todos los infinitos?

En la entrada anterior hemos visto que tenemos al menos ‘dos’ infinitos,  y , y que  es un infinito más grande que La pregunta que surge a continuación parece evidente: ¿hay un infinito más grande que ? Para responder a esta pregunta necesitamos dos palabrejas nuevas, ‘cardinalidad‘ y ‘potencia‘, que se entenderán muy bien con los ejemplos.

(1) La ‘cardinalidad‘ de un conjunto no es más que el número de elementos que contiene. Por ejemplo: la cardinalidad de Flores = {Amapola, Loto, Margarita} es 3 porque tiene 3 elementos.

(2) La ‘potencia‘ de un conjunto “C” es otra cajita etiquetada como “P(C)” que contiene todos los subconjuntos de C (todas las posibles combinaciones de los elementos de la cajita C). Por ejemplo: las potencias de Mascotas = {Perro, Gato} y de A = {1, 2, 3} son:

Ρ(Mascotas) =  {, {Perro}, {Gato}, {Perro, Gato}}

Ρ(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

El símbolo  es el conjunto vacío, la cajita que no contiene nada, pero no es relevante para la exposición. Baste decir que  es subconjunto de todos los conjuntos y que por eso se añade a la cajita de la potencia como uno de sus elementos. Vemos también que la cardinalidad de Mascotas es de 2 y la cardinalidad de la de potencia de Mascotas (el número de elementos que contiene P(Mascotas)) es de 4. La cardinalidad de A es de 3 mientras que la de su potencia P(A) es de 8.

Con estas herramientas volvamos al infinito. Tomemos el conjunto . Puesto que contiene infinitos elementos simbolicemos su cardinalidad con el signo de infinito ““. Pero hemos visto que hay infinitos “más grandes”, así que diremos que tiene cardinalidad [1], donde el ‘[1]’ hace referencia a que es el “primer” infinito, el más pequeño. Siguiendo esta nomenclatura diremos que  tiene cardinalidad [2], haciendo referencia a que [2] es más grande que [1].

Supongamos ahora que hacemos la potencia de , que será Ρ(), es decir, la cajita que contiene todos los posibles subconjuntos de . ¿Cuántos elementos tendrá Ρ()? Resulta que puede demostrarse que Ρ() tiene “[2]” elementos, es decir, los mismos que la cajita . Pero ahora podemos pensar: ¿qué pasa si hacemos la potencia de Ρ(), que será Ρ(Ρ()), es decir, la potencia de la potencia de ? Resulta que Ρ(Ρ()) contiene [3] elementos, un infinito “infinitas veces más grande” que [2]. Y así podríamos seguir:

  •  = [1]
  • Ρ() = [2]
  • Ρ (Ρ()) =  [3]
  • Ρ(Ρ(Ρ())) =  [4]
  • Ρ(Ρ(Ρ(Ρ()))) =  [5]
  • Etc.

Como siempre podremos hacer la potencia de un conjunto infinito y el “conjunto-potencia” resultante contiene un infinito “infinitas veces más grande”, jamás llegaremos a un conjunto que contenga el “infinito más grande posible” de elementos.

Puede ayudar pensar la cuestión en términos de dimensiones. Una recta es de dimensión 1 y contiene infinitos puntos (“[1]” elementos). Si aumentamos una dimensión obtenemos un plano, que tiene dimensión 2, y que contiene infinitas rectas. Por tanto, tendrá “infinitas veces más” elementos que una recta, en nuestro caso “[2]”. Etc.

Por tanto, no hay un infinito “más grande” que todos los demás.

AGL

Anuncios

2 thoughts on “3/3. Todo lo que siempre quisiste saber sobre el Infinito

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s