2/3. Todo lo que siempre quisiste saber sobre el Infinito

 

II. Infinitos más grandes que otros

Hay una característica del infinito que puede sorprender de entrada y es que hay infinitos más grandes que otros. La demostración es matemática y se remonta a Georg Cantor, aunque vamos a intentar hacerla lo más sencilla y menos matematizada posible, por lo que se pide al lector versado en estos temas cierta impunidad.

Primer paso: la noción de conjunto

Lo primero que necesitamos es la noción de ‘conjunto’. Un conjunto es una cajita en la que introducimos algunos elementos y la etiquetamos con un nombre. Por ejemplo, vamos a tomar un conjunto que llamaremos ‘Mascotas’ y que contiene un perro, un gato y un hámster, y vamos a tomar otro conjunto que llamaremos ‘Flores’ y que contiene una amapola, un loto y una margarita:

Mascotas = {Perro, Gato, Hámster}

Flores = {Amapola, Loto, Margarita}

Segundo paso: comparar el número de elementos de dos conjuntos

Ahora nos preguntamos, ¿tienen el mismo número de elementos Mascotas y Flores? Y la respuesta es: lo tienen si podemos hacer parejas de baile entre los elementos de ambas de tal forma que (a) no repitamos ningún elemento y (b) ninguno se quede tristemente solo. En este caso podríamos hacer las siguientes parejas:

  • < Perro, Amapola >
  • < Gato, Loto >
  • < Hásmter, Margarita >

No hemos repetido ningún elemento y ninguno se ha quedado sin pareja. Por tanto, podemos afirmar que ambos conjuntos contienen el mismo número de elementos. En cambio, si Flores contuviera también Madreselva: Flores= {Amapola, Loto, Margarita, Madreselva}, entonces o bien la Madreselva se quedaría sola o bien tendríamos que repetir un elemento de Mascotas cuando hiciéramos las parejas, y por lo tanto podríamos afirmar que ambas cajitas no tienen el mismo número de elementos. En este segundo caso, Flores tendría más elementos. Todo ello puede parecer trivial, pero es importante tenerlo claro para el siguiente paso.

Volvamos al infinito. A este lo pensamos de forma natural como todos los elementos que contiene la cajita de los números naturales que llamaremos “. Por lo tanto: 

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

Claramente en  hay infinitos elementos. Tomemos ahora la cajita que contiene solo los números pares, que llamaremos “. Así:

= {2, 4, 6, 8, 10, 12…}.

¿Cuántos elementos hay en ? La intuición nos dice que contiene exactamente la mitad de los elementos de : al fin y al cabo,  se obtiene de borrar el 1, el 3, el 5, etc. de . Sin embargo,  contiene exactamente el mismo número de elementos que , infinitos. Vamos a comprobarlo. Para ello no tenemos más que hacer lo mismo que en el ejemplo de Mascotas y Flores, hacer parejas y ver si algún elemento se queda solo o si repetimos alguno. En este caso, por ejemplo:

  • < 1 , 2 >
  • < 2 , 4 >
  • < 3 , 6 >
  • < 4 , 8 >
  • Etc.

Como ambos conjuntos son ilimitados, siempre podremos realizar la pareja correspondiente. Así, ningún número se quedará solo y además no tendremos que repetir ninguno. Por tanto, podemos concluir que  y  contienen el mismo número de elementos (lo mismo pasa para el conjunto de lo números impares y el de los racionales).

Tercer paso: infinitos más grandes que otros

 es el infinito que pensamos de forma natural. Lo que vamos a ver ahora es que hay diferentes “tipos” de infinito y que algunos son más “grandes” que otros. De hecho, como veremos,  resulta ser el infinito “más pequeño” de todos.

Pero, ¿cómo podemos comprobar si hay un infinito “más grande” que el de ? Esto es lo que vamos a necesitar: supongamos que somos capaces de hallar una cajita que vamos a llamar “” en la que tras emparejar todos los elementos de  con elementos de  nos queden elementos de  sin pareja. Ello sería un caso similar a cuando hemos introducido la Madreselva en la cajita Flores y esta se nos ha quedado sin pareja. En ese caso, concluíamos que Flores tenía más elementos que Mascotas. Si ello nos sucede ahora, entonces querrá decir que  tiene más elementos que . Y, puesto que  tiene infinitos elementos,  tendrá “más que infinitos” elementos, siendo un infinito “más grande”.

Esta cajita  es la que buscó Cantor y la encontró en los números reales del intervalo (0,1). Pensemos en todos los números que hay entre el 0 y el 1 sin incluir a ambos. Por ejemplo:

0,5   /   0,512   /   0,0001   /   0,15478   /   0,15151515…   /   0,   /   Etc.

Todos estos números tienen la misma forma:  Es decir, un ‘0’, seguido de una ‘,’ seguida de infinitos decimales (que pueden ser 0: 0,5 = 0,50000…). Supongamos que emparejamos todos los elementos de  con números de la forma  … Por ejemplo:

  • < 1   /   0,50000… >
  • < 2   /   0,51200… >
  • < 3   /   0,00010… >
  • < 4   /   0,15478… >
  • < 5   /   0,151515… >
  • Etc.

Es muy importante para entender lo que viene a continuación constatar que una vez hayamos acabado, todos los elementos de  tendrán una pareja. Hemos creado una lista donde todos los elementos de  tienen una pareja con un número de la forma y en la que no hemos repetido ningún elemento de .

Pero fijémonos ahora en el número de la diagonal que hemos marcado en rojo: ‘0,51071…‘ Ahora sumemos ‘1’ a cada decimal. Obtenemos el número: ‘0,62182… ¿Este número ‘0,62182…‘ estará en nuestra lista, emparejado con algún elemento de ?

Pensemos: no será la pareja del ‘1’, porque al menos el primer decimal es diferente (el primer decimal de la pareja del 1 es el ‘5’ mientras que el primer decimal de nuestro número es el ‘6’); no será la pareja del ‘2’, porque al menos el segundo decimal es diferente; no será la pareja del ‘3’, porque al menos el tercer decimal es diferente; etc. Es decir: el número ‘0,62182…‘ pertenece a la cajita  pero no tiene pareja con ningún elemento de . Por tanto, la cajita  tiene al menos un elemento más que la cajita , el número ‘0,62182…‘ 

La cuestión ahora es que podemos encontrar todos los métodos que queramos para construir números que no están en nuestra lista emparejados con elementos de . Por ejemplo, si en vez de sumar ‘1’ a cada decimal sumamos ‘2’, obtendremos el número ‘0,73292… que, por las mismas razones, tampoco está en la lista. O si aplicamos la norma: <si el decimal no es igual a 1, pongo un 1, si es igual a 1, pongo un 0> a nuestro número ‘0,51071…‘ obtenemos el número ‘0,10110… que, nuevamente, tendrá al menos un decimal diferente de cada una de las parejas de nuestra lista, y por lo tanto tampoco estará en la lista. Como podemos encontrar infinitos métodos que mostrarán infinitos números que pertenecen a  y que no tienen pareja con  contiene “infinitas veces más elementos” que , siendo así un infinito “infinitas veces más grande” que .

3/3. No hay un infinito “más grande” que todos los demás.

AGL

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4 thoughts on “2/3. Todo lo que siempre quisiste saber sobre el Infinito

    1. Así es. Es el conjunto de los números Reales (o cualquiera de sus subconjuntos “abiertos”) el que presenta un infinito “más grande” que el de los Naturales o los Racionales. Ello guarda estrecha relación con el hecho de que los Reales forman un “continuo”, mientras que los Naturales, Pares, Impares, Racionales, Irracionales, etc. son discretos. Si tienes cualquier otra duda no dudes en preguntar!

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