1/3. Todo lo que siempre quisiste saber sobre el Infinito


En los siguientes tres artículos veremos que:

1/3. Hay dos tipos de infinito: infinito como cantidad e infinito como ilimitado.

2/3. Hay infinitos “más grandes” que otros.

3/3. No hay un infinito “más grande” que todos los demás.


I. Dos tipos de Infinito

El concepto de infinito presenta dos usos bien diferenciados: infinito como cantidad e infinito como ilimitado. El primero refiere a una cantidad que no es finita, una magnitud mayor que cualquier otra, mientras que el segundo refiere a un proceso que no acaba nunca, porque jamás se llega a un límite. Dichos usos suelen mezclarse dando lugar a confusión. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos de infinito como cantidad

  • Un hotel con infinitas habitaciones que alberga a infinitos huéspedes. Un campo extensamente infinito que contiene infinitas flores.

Ejemplos de infinito como ilimitado

  • Para un hásmter que corre dentro de una rueda, esta es infinita en tanto que ilimitada: nunca encontrará un límite ante el que tenga que detenerse. Pero la rueda no es infinita como cantidad: podemos medir su superficie.

Ejemplos de ambos tipos de infinito sobre una misma cosa

  • Cuando decimos que un segmento es infinitamente divisible nos referimos a que el proceso de división es ilimitado: siempre podremos hacer una división más. En cambio, cuando decimos que un segmento está formado por infinitos puntos nos referimos a que contiene una cantidad infinita de puntos.
  • La sucesión de los números naturales < = 1, 2, 3…> es infinita en tanto que ilimitada: jamás llegamos a un “último” número, a un límite, siempre podremos contar uno más. En cambio, cuando pensamos en el conjunto de los números naturales = {1, 2, 3…}, una cajita que contenga “todos los números naturales”, hablamos de un infinito en tanto que cantidad: contiene infinitos elementos.

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Una misma cosa puede ser infinita y no serlo a la vez

Puesto que infinito responde a estos dos usos una misma cosa puede ser y no ser infinita a un tiempo, ya que puede serlo en un sentido y no en el otro. Un buen ejemplo es nuestro Universo. De acuerdo con las teorías físicas actuales el espacio es finito en cuanto a cantidad. Hace unos 13.800 millones de años el espacio “ocupaba” menos que la punta de una aguja. Desde entonces se está expandiendo y cada vez se hace más “grande”, pero a día de hoy no tiene una extensión infinita. Es como si infláramos un globo que no se rompiera nunca. Por tanto, el espacio no es infinito en el sentido de cantidad. En cambio, es infinito en tanto que ilimitado: si fuéramos en línea recta en cualquier dirección jamás llegaríamos a un límite y acabaríamos volviendo al mismo punto de partida (como una hormiga que recorriera la superficie de una esfera: la esfera es finita pero ilimitada para la hormiga, puesto que jamás llegará a un límite por el que no pueda avanzar más, y si camina siempre el línea recta volverá al punto de partida). En general, si recorremos una superficie “cerrada sobre sí misma”, como hacemos, por ejemplo, al dibujar un círculo o el número ‘8’, podemos avanzar de forma infinita –ilimitada– por una superficie que es finita -en cuanto a magnitud-.

El infinito NO es un número

Vale la pena remarcar un uso erróneo pero extendido del infinito, simbolizado, como se sabe, mediante  (1694, John Wallis), que responde a la consideración de  como un número. Es incorrecto pensar en como “el número más grande de todos”. Hemos visto que la sucesión de los números naturales < = 1, 2, 3…> es infinita en tanto que ilimitada, por tanto nunca llegamos a un número final ‘‘, precisamente porque es ilimitada. No es cierto que  sea el último número de la sucesión al que pudiéramos llegar si dispusiéramos de un tiempo infinito para contar “todos” los números. El problema reside en que cuando hablamos de ‘el infinito’ utilizamos el artículo ‘el’, que normalmente se aplica a las cosas, como ‘el coche’ o ‘el 5’. Pero ‘el infinito’ no es una cosa en este sentido (las cosas tienen límites). Es, como hemos dicho, o bien una cantidad infinita o bien un proceso ilimitado.

(Como apunte para el lector aficionado a las matemáticas, cuando en estas se escribe  tras una igualdad suele referirse al mite de una función cuando su variable se aproxima a un cierto valor c, y lo que simboliza no es un número, sino que el proceso es ilimitado, que la función “crece” indefinidamente cuanto más se aproxima al valor c, que la función toma un valor tan grande como se quiera en las cercanías de c. Fuera de la Teoría de Conjuntos, el uso matemático del  responde siempre a un proceso ilimitado.)

2/3. Infinitos más grandes que otros

AGL

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